В \(\triangle ABC\) BB₁ – медиана. Докажите, что BB₁ < 1/2 (AB + BC).

Для доказательства этого утверждения необходимо воспользоваться неравенством треугольника. Достроим медиану BB₁ до точки D так, что BB₁ = B₁D. Тогда четырехугольник ABCD - параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. В треугольнике ABD: AD < AB + BD (неравенство треугольника). Т.к. ABCD - параллелограмм, то AD = BC и BD = AB. Также, BD = 2BB₁. Подставляем в неравенство: BC < AB + 2BB₁. 2BB₁ < AB + BC. BB₁ < 1/2(AB + BC). Что и требовалось доказать.