В \(\triangle ABC\) биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O, \(\angle ABC = 30^{\circ}\), \(\angle AOB = 107^{\circ}\). Докажите, что треугольник ABC не является остроугольным.

1. \(\angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ}\). 2. Т.к. AA₁ и BB₁ - биссектрисы, то \(\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB\) и \(\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA = 30^{\circ}\) => \(\angle OBA = 15^{\circ}\). 3. Тогда \(\angle OAB = 73^{\circ} - \angle OBA = 73^{\circ} - 15^{\circ} = 58^{\circ}\), и \(\angle BAC = 2 \cdot 58^{\circ} = 116^{\circ}\). 4. Т.к. угол BAC больше 90°, треугольник ABC не является остроугольным, а является тупоугольным. Что и требовалось доказать.