В амфитеатре 27 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 45 мест, а в тринадцатом ряду 69 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Пошаговое решение:

1. Обозначим количество мест в n-м ряду как \( a_n \), а разность арифметической прогрессии как \( d \).
2. По условию задачи: \( a_7 = 45 \) и \( a_{13} = 69 \).
3. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
4. Также можно найти разность \( d \) по формуле: \( d = \frac{a_m - a_k}{m - k} \).
5. Найдем разность \( d \) между 13-м и 7-м рядами:
   \( d = \frac{a_{13} - a_7}{13 - 7} = \frac{69 - 45}{6} = \frac{24}{6} = 4 \).
6. Теперь найдем количество мест в первом ряду \( a_1 \), используя \( a_7 \):
   \( a_7 = a_1 + (7-1)d \)
   \( 45 = a_1 + 6 · 4 \)
   \( 45 = a_1 + 24 \)
   \( a_1 = 45 - 24 = 21 \).
7. Найдем количество мест в последнем, 27-м ряду \( a_{27} \):
   \( a_{27} = a_1 + (27-1)d \)
   \( a_{27} = 21 + 26 · 4 \)
   \( a_{27} = 21 + 104 \)
   \( a_{27} = 125 \).

Ответ: 125