8. В каждую клетку волшебной таблицы 4 х 4 написали по числу (возможно, не целому). Оказалось, что для каждой клетки сумма чисел, написанных в ее соседях по стороне, равна 100. Чему может быть равна сумма чисел во всей таблице?

Пошаговое решение:

1. В таблице 4x4 всего 16 клеток.
2. Для каждой клетки сумма чисел, написанных в ее соседях по стороне, равна 100.
3. Посчитаем сумму всех таких сумм. Каждое число учитывается столько раз, сколько у него соседей по стороне.
4. Для угловых клеток (4 штуки) у каждой по 2 соседа, значит, число в каждой угловой клетке учтется 2 раза.
5. Для клеток, которые не являются угловыми и находятся на границе (8 штук), у каждой по 3 соседа, значит, число в каждой клетке учтется 3 раза.
6. Для внутренних клеток (4 штуки) у каждой по 4 соседа, значит, число в каждой клетке учтется 4 раза.
7. Сумма всех таких сумм: \(16 \cdot 100 = 1600\).
8. Обозначим сумму всех чисел в таблице за \(S\). Тогда
   \(2 \cdot S_{углов} + 3 \cdot S_{границ} + 4 \cdot S_{центр} = 1600\)
   Где \(S_{углов}\) - сумма чисел в угловых клетках, \(S_{границ}\) - сумма чисел в клетках на границе, \(S_{центр}\) - сумма чисел во внутренних клетках.
9. Каждое число учитывается 2, 3 или 4 раза. Можно сказать, что каждая ячейка вносит вклад в сумму соседних ячеек. Поэтому общая сумма поделена между всеми ячейками.
10. Однако, существует более простой способ. Представим, что каждая ячейка отдает часть своего значения соседним ячейкам.
11. Сумма чисел, написанных в соседях каждой клетки, равна 100. Значит, каждая клетка отдает 100.
12. Поскольку ячеек 16, общая отданная сумма: \(16 \cdot 100 = 1600\).
13. Каждое число в таблице учитывается несколько раз, так как является соседом других клеток.
14. Рассмотрим пример. Пусть в каждой клетке записано число \(x\). Тогда сумма соседей каждой клетки равна \(100\).
15. Если каждая клетка имеет 4 соседа, то \(4x = 100\), \(x = 25\). Тогда общая сумма в таблице: \(16 \cdot 25 = 400\).
16. Пусть в каждом углу число \(a\), на границе \(b\), в центре \(c\). Тогда: \(2a = 100\), \(3b = 100\), \(4c = 100\)
17. Известно, что каждая клетка по условию дает сумму 100. Это выполняется для каждой клетки. Значит, общая сумма равна 800.

Ответ: Сумма чисел во всей таблице может быть равна 800.