6. Во время Святочного бала 20 мальчиков и 30 девочек встали в круг, взявшись за руки. Может ли пар мальчик-девочка, держащихся за руку, быть ровно 13?

Пошаговое решение:

1. Всего детей: \(20 + 30 = 50\)
2. Предположим, что есть 13 пар мальчик-девочка.
3. Тогда количество пар мальчик-мальчик и девочка-девочка равно \(50 - 13 \cdot 2 = 50 - 26 = 24\).
4. Разделим эти 24 места между мальчиками и девочками.
5. Пусть пар мальчик-мальчик \(x\), а девочка-девочка \(y\), тогда \(x+y = 24\).
6. Но тогда рядом с каждой парой мальчик-мальчик или девочка-девочка должна стоять пара мальчик-девочка, но у нас только 13 таких пар.
7. Возможно, что такого не может быть.

Ответ: Нет, не может.