12. В классе 21 учащийся, среди них два друга - Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Общее число способов распределить 21 учащегося на 3 группы по 7 человек в каждой: $$C_{21}^{7} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{7}^{7} = \frac{21!}{7!14!} \cdot \frac{14!}{7!7!} \cdot \frac{7!}{7!0!} = \frac{21!}{7!7!7!}$$.

Но поскольку порядок групп не важен, нужно поделить еще на 3!: $$\frac{21!}{7!7!7!3!} = 203490 \cdot 1716 = 348177240$$.

Теперь рассмотрим случай, когда Вадим и Олег в одной группе. Тогда нужно выбрать 5 человек в группу к ним из оставшихся 19, а затем распределить оставшихся 14 на две группы по 7 человек: $$C_{19}^{5} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{7}^{7} = \frac{19!}{5!14!} \cdot \frac{14!}{7!7!} \cdot \frac{7!}{7!0!} = \frac{19!}{5!7!7!} = 11628 \cdot 3432 = 39907456$$.

На порядок оставшихся двух групп делить не надо, так как Вадим и Олег в одной из них уже находятся, и это делает группы несимметричными.

Тогда вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов: $$P = \frac{39907456}{348177240} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 2}{20 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{19}{105} \approx 0.18$$.

Другой способ решения:

Предположим, Вадим уже определен в группу. Тогда в его группе осталось 6 мест. Всего осталось 20 мест (включая место Вадима). Вероятность, что Олег попадет в группу к Вадиму, составляет $$P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$$.

Ответ: 0.3