16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

В классе 21 учащийся. Так как класс делят на 7 групп по 3 человека, то количество способов разделить класс на группы равно: $$C_{21}^{3} \cdot C_{18}^{3} \cdot C_{15}^{3} \cdot C_{12}^{3} \cdot C_{9}^{3} \cdot C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}$$.

Если Аня и Нина в одной группе, то нужно выбрать еще 1 человека из 19, чтобы дополнить группу до 3 человек. Тогда 19 учеников нужно разделить на 6 групп по 3 человека: $$C_{19}^{1} \cdot C_{18}^{3} \cdot C_{15}^{3} \cdot C_{12}^{3} \cdot C_{9}^{3} \cdot C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}$$.

Вероятность, что Аня и Нина окажутся в одной группе:

$$P = \frac{C_{19}^{1} \cdot C_{18}^{3} \cdot C_{15}^{3} \cdot C_{12}^{3} \cdot C_{9}^{3} \cdot C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}}{C_{21}^{3} \cdot C_{18}^{3} \cdot C_{15}^{3} \cdot C_{12}^{3} \cdot C_{9}^{3} \cdot C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}} = \frac{C_{19}^{1}}{C_{21}^{3}} = \frac{\frac{19!}{1! \cdot 18!}}{\frac{21!}{3! \cdot 18!}} = \frac{19! \cdot 3!}{21! \cdot 1!} = \frac{2 \cdot 3}{20 \cdot 21} = \frac{6}{420} = \frac{1}{35} \approx 0,029$$.

Ответ: 0,029