В окружности треугольник REF вписан в окружность с центром O. Даны RE=10, EF=5, RF=7. Найти x=∠ERO.

Сначала найдём вписанный угол ERF напротив стороны EF по теореме косинусов:

\(\cos\angle ERF=\dfrac{RE^2+RF^2-EF^2}{2\cdot RE\cdot RF}=\dfrac{100+49-25}{140}=\dfrac{31}{35}.\)

Треугольник ROE равнобедренный, поскольку OR=OE — радиусы. Поэтому \(\angle ERO=\angle REO=x\). Луч RO лежит внутри угла ERF, а \(\angle ROF=2\angle REF\); удобнее найти x из геометрии: в треугольнике REF \(\angle REF=\arccos\frac{10^2+5^2-7^2}{2\cdot10\cdot5}=\arccos\frac{19}{25}\). Угол ERF равен \(\arccos\frac{31}{35}\), поэтому \(\angle RFE=180^\circ-\angle REF-\angle ERF\). Центральный угол ROE равен удвоенному вписанному углу RFE, а в равнобедренном треугольнике ROE \(2x+\angle ROE=180^\circ\). Значит, \(x=\angle RFE\).

Эквивалентно, \(x=180^\circ-\arccos\frac{19}{25}-\arccos\frac{31}{35}\approx69.6^\circ\).

Ответ: \(x\approx69.6^\circ\).