В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD = 2 : 1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

Обозначим через P, Q и R точки пересечения плоскости с рёбрами CD, BC и AB соответственно. Сечение — четырёхугольник TPQR.

Поскольку плоскость параллельна AC, её следы на гранях, содержащих AC, параллельны AC. Поэтому TP ∥ AC и RQ ∥ AC. Аналогично, из параллельности плоскости BD получаем TR ∥ BD и PQ ∥ BD. Значит, TPQR — параллелограмм.

В правильной треугольной пирамиде ребро AC перпендикулярно противоположному ребру BD. Следовательно, соседние стороны параллелограмма TPQR перпендикулярны, и сечение является прямоугольником.

Из отношения \(AT:TD=2:1\) следует, что \(AT/AD=2/3\). В треугольнике ADC отрезок TP параллелен AC, поэтому по подобию треугольников \(TP/AC=AT/AD=2/3\), откуда \(TP=\frac23\cdot6=4\).

В треугольнике ABD отрезок TR параллелен BD, поэтому \(TR/BD=AT/AD=2/3\), откуда \(TR=\frac23\cdot5=\frac{10}{3}\).

Площадь прямоугольного сечения: \(S=TP\cdot TR=4\cdot\frac{10}{3}=\frac{40}{3}\).

Ответ: а) сечение — прямоугольник; б) \(\frac{40}{3}\).