4. В остроугольном треугольнике МСК проведена высота МВ. Найдите СК, если М 80, 4К = 40, MC12, КВ = 5.

Дано: ΔMCK, MB - высота, ∠M = 80°, ∠K = 40°, MC = 12, KB = 5.

Найти: CK.

Решение:

В ΔMCK, ∠C = 180° - (∠M + ∠K) = 180° - (80° + 40°) = 60°.

Рассмотрим прямоугольный ΔMBK: ∠MBK = 90° - ∠K = 90° - 40° = 50°.

Рассмотрим прямоугольный ΔMBC: ∠MBC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°.

MB - общая высота для обоих треугольников.

В ΔMBK: MB = KB × tg(∠K) = 5 × tg(40°)

В ΔMBC: MB = MC × sin(∠C) = 12 × sin(60°)

По теореме Пифагора для ΔMBK: MK² = MB² + KB²

MK = √(MB² + KB²) = √((5 × tg(40°))² + 5²)

По теореме Пифагора для ΔMBC: BC² = MB² + MC²

BC = √(MB² + MC²) = √((12 × sin(60°))² + 12²)

CK = MK + MC = √((5 × tg(40°))² + 5²) + √((12 × sin(60°))² + 12²)

Ответ: СК = √((5 × tg(40°))² + 5²) + √((12 × sin(60°))² + 12²)