6. В равностороннем треугольнике АВС точка М - пересечение высот. Докажите, что треугольник AMC - равнобедренный. Найдите длину биссектрисы 4 АМС, если MC-5.

В равностороннем треугольнике все высоты являются и медианами, и биссектрисами. Точка пересечения высот (ортоцентр) равностороннего треугольника является также и центром вписанной и описанной окружностей.

Треугольник AMC равнобедренный, так как AM = MC. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, поэтому ∠BAC = ∠BCA = 60°.

Высоты, проведенные из вершин A и C, также являются биссектрисами углов, поэтому ∠MAC = ∠MCA = 30°.

Следовательно, треугольник AMC равнобедренный, так как углы при основании равны.

Найдем длину биссектрисы угла AMC, если MC = 5.

Так как треугольник AMC равнобедренный, то AM = MC = 5.

∠AMC = 180° - (∠MAC + ∠MCA) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

Биссектриса угла AMC делит его пополам, поэтому угол между биссектрисой и стороной MC равен 60°.

Обозначим точку пересечения биссектрисы и стороны AC как D. Тогда треугольник MDC прямоугольный, и ∠DMC = 60°.

MD = MC × cos(∠DMC) = 5 × cos(60°) = 5 × 1/2 = 2.5

Длина биссектрисы угла AMC равна 2.5.

Ответ: 2.5