В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали равны. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $$AB_1D$$ – прямоугольник.

Доказательство:

1. В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ противоположные грани параллельны и равны.
2. Плоскость $$AB_1D$$ проходит через диагонали $$AB_1$$ и $$AD_1$$.
3. По условию, диагонали параллелепипеда равны, то есть $$AB_1 = AD_1$$.
4. Рассмотрим четырехугольник $$AB_1D_1D$$. $$AB_1 = DD_1$$ и $$AD_1 = B_1D$$. Следовательно, $$AB_1D_1D$$ – параллелограмм.
5. Так как $$AB_1 = AD_1$$, параллелограмм $$AB_1D_1D$$ является ромбом.
6. Диагонали ромба перпендикулярны, то есть $$B_1D \perp AD_1$$.
7. Следовательно, сечение параллелепипеда плоскостью $$AB_1D$$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение параллелепипеда плоскостью $$AB_1D$$ является прямоугольником, что и требовалось доказать.