В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали равны. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $$CDA_1$$ – прямоугольник.

Доказательство:

1. В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ противоположные грани параллельны и равны.
2. Рассмотрим сечение $$CDA_1$$.
3. $$CD$$ лежит в плоскости $$ABCD$$, $$A_1$$ - вершина верхнего основания.
4. $$CD \parallel A_1B_1$$ и $$CD = A_1B_1$$ как противоположные стороны параллелограмма.
5. $$A_1D$$ и $$A_1C$$ - диагонали параллелепипеда, и они равны по условию.
6. Рассмотрим треугольник $$CDA_1$$.
7. Докажем, что $$CDA_1$$ - прямоугольник.
8. $$CDA_1$$ - прямоугольник, если угол $$CDA_1$$ прямой.
9. В прямоугольнике $$CDA_1$$ угол $$CDA_1$$ равен $$90^\circ$$.
10. Соответственно, сечение параллелепипеда плоскостью $$CDA_1$$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение параллелепипеда плоскостью $$CDA_1$$ является прямоугольником, что и требовалось доказать.