В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=10°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как в параллелограмме AB ∥ CD, угол между AC и AB равен ∠ACD, то есть 10°.

Обозначим AB = a. Тогда AC = 2a. В треугольнике ABC угол A равен 10°. По теореме синусов:

\(\dfrac{BC}{\sin 10^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 160^\circ}\), поэтому \(BC=2a\).

Пусть диагонали пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся пополам, значит \(AO=AC/2=a\), а \(BO=BD/2\). В треугольнике ABC стороны AB и BC равны a и 2a, а угол между ними равен 10°. Из теоремы косинусов получаем \(AC^2=a^2+(2a)^2-2a\cdot2a\cos 10^\circ\), что противоречит условию \(AC=2a\): оно потребовало бы \(4=5-4\cos10^\circ\), то есть \(\cos10^\circ=1/4\).

Следовательно, указанное условие геометрически несовместимо: такого параллелограмма не существует, поэтому угол между диагоналями определить нельзя.