209. В параллелограмме ABCD отмечена точка M – середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка BK, если BD=12.

1. В параллелограмме ABCD, M - середина BC, то есть BM = MC. 2. Пусть BK = x. Нужно найти x. 3. Так как BC || AD, то BM || AD. Значит, треугольники BKM и DKA подобны по двум углам (угол BKM = углу DKA как вертикальные, угол MBK = углу KDA как накрест лежащие). 4. Из подобия треугольников BKM и DKA следует: BK/DK = BM/AD. Поскольку BM = 1/2 BC, а BC = AD (противоположные стороны параллелограмма равны), то BM/AD = 1/2. 5. Значит, BK/DK = 1/2, то есть DK = 2BK = 2x. 6. BD = BK + DK = x + 2x = 3x. 7. По условию BD = 12. Следовательно, 3x = 12, откуда x = 4. Ответ: BK = 4.