8. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что треугольник АВК - равнобедренный.

В прямоугольнике все углы прямые, значит, $$angle ABC = 90^circ$$. $$AK$$ – биссектриса угла $$A$$, значит, $$angle BAK = rac{1}{2} angle BAD = rac{1}{2} cdot 90^circ = 45^circ$$. Рассмотрим треугольник $$ABK$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^circ$$. $$angle BKA = 180^circ - angle ABK - angle BAK = 180^circ - 90^circ - 45^circ = 45^circ$$. Таким образом, в треугольнике $$ABK$$ углы $$angle BAK = angle BKA = 45^circ$$. Значит, треугольник $$ABK$$ – равнобедренный, так как у него два угла равны, следовательно, равны и стороны $$AB = BK$$.