7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 9, AD = 12, AA₁ = 18. Найдите синус угла между прямыми А₁D₁ и АС.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде A1D1 параллельна AD.

AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{9^2 + 12^2}\) = \(\sqrt{81 + 144}\) = \(\sqrt{225}\) = 15

A1C = \(\sqrt{AC^2 + AA1^2}\) = \(\sqrt{15^2 + 18^2}\) = \(\sqrt{225 + 324}\) = \(\sqrt{549}\) = 3\(\sqrt{61}\)

A1D = \(\sqrt{AA1^2 + AD^2}\) = \(\sqrt{18^2 + 12^2}\) = \(\sqrt{324 + 144}\) = \(\sqrt{468}\) = 6\(\sqrt{13}\)

sin(A1DA) = \(\frac{AA1}{AD}\) = \(\frac{18}{6\sqrt{13}}\) = \(\frac{3}{\sqrt{13}}\) = \(\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Ответ: \(\frac{3\sqrt{13}}{13}\)