4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

4. Дано: прямоугольная трапеция $$ABCD$$, где $$BC \lt AD$$, $$AB \perp AD$$.

• $$CD = 8 \text{ см}$$
• $$\angle BAD = 60^\circ$$
• $$BH$$ - высота, $$AH = HD$$.

Найти: $$S_{ABCD}$$.

Решение:

1) Проведем высоту $$CK \perp AD$$. Тогда $$AB = CK$$.

2) $$AH = HD$$, значит, $$AD = 2AH$$.

3) Рассмотрим $$\triangle CKD$$: $$\angle CKD = 90^\circ$$.

$$\angle CDK = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$.

$$\angle KCD = 180^\circ - 90^\circ - (180^\circ-60^\circ) = 60^\circ-90^\circ = 30^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит $$KD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}$$.

4) $$AH = HD$$, но $$HD = AH$$, значит $$AD = AH + HD$$.

5) В прямоугольнике $$ABCH: BC = AH$$. Тогда $$AD = AH + KD$$.

Из прямоугольного треугольника $$CKD$$:

$$CK = \sqrt{CD^2 - KD^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} = AB$$.

6) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: AH = AB \cdot ctg 60 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}$$.

Тогда AD = AH + HD = AH + KD = 4 + 4 = 8 см

BC = AH = 4 см

Площадь трапеции

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{4+8}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

Ответ: $$24\sqrt{3} \text{ см}^2$$.