4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

4. Дано: прямоугольная трапеция ABCK, где $$BC \lt AK$$, $$AB \perp AK$$.

• $$CK = 3\sqrt{2} \text{ см}$$
• $$\angle AKC = 45^\circ$$
• CH - высота, $$AH = HK$$.

Найти: $$S_{ABCK}$$.

Решение:

1) Рассмотрим $$ \triangle CHK$$: $$ \angle CHK = 90^\circ$$, $$\angle CKH = 45^\circ$$, значит $$\angle HCK = 45^\circ$$, следовательно, $$\triangle CHK$$ - равнобедренный, и $$CH = HK$$.

2) По теореме Пифагора для $$\triangle CHK$$:

$$CK^2 = CH^2 + HK^2 = 2CH^2$$

$$(3\sqrt{2})^2 = 2CH^2$$

$$18 = 2CH^2$$

$$CH^2 = 9$$

$$CH = 3 \text{ см} = HK$$.

3) $$AB = CH = 3 \text{ см}$$.

4) Т.к. $$AH = HK$$, то $$AH = 3 \text{ см}$$.

5) $$AK = AH + HK = 3 + 3 = 6 \text{ см}$$.

6) $$BC = AH = 3 \text{ см}$$.

7) Площадь трапеции:

$$S = \frac{BC + AK}{2} \cdot AB = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 13.5 \text{ см}^2$$.

Ответ: 13.5 см².