9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD, ∠ADC = 126°. Найдите угол СВА. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36°

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

AD - биссектриса угла BAC, значит, ∠BAD = ∠CAD.

Рассмотрим треугольник ADC: ∠ADC = 126°.

Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°: ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°.

Пусть ∠CAD = x, тогда ∠ACD = ∠BCA = 180° - 126° - x = 54° - x.

Так как ∠BAC = ∠BCA, то 2x = 54° - x.

3x = 54°.

x = 18°.

Следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 54° - 18° = 36°.

Рассмотрим треугольник ABC: ∠BAC = ∠BCA = 36°.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180°.

36° + 36° + ∠CBA = 180°.

72° + ∠CBA = 180°.

∠CBA = 180° - 72° = 108°.

Угол ADC = 126°, значит, угол ADB = 180° - 126° = 54°.

В треугольнике ABD угол BAD = углу A / 2, а угол ABD = искомому углу CBA.

Сумма углов треугольника ABD: угол BAD + угол ABD + угол ADB = 180°.

Из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол BAC = углу BCA.

Пусть угол BAC = углу BCA = x.

Тогда угол CAD = x / 2, так как AD - биссектриса.

В треугольнике ADC: угол CAD + угол ACD + угол ADC = 180°.

x / 2 + x + 126° = 180°.

(3/2)x = 54°.

x = 36°.

Значит, угол BAC = 36°.

Следовательно, угол CBA = 180° - 2 * 36° = 180° - 72° = 108°.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, можно записать: ∠CBA = 180° - ∠BAC - ∠BCA.

Но так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Обозначим ∠BAC = ∠BCA = x.

Тогда ∠ADC + ∠DAC + ∠DCA = 180° (сумма углов в треугольнике ADC).

126° + x/2 + x = 180°.

3x/2 = 54°.

x = 36°.

Итак, ∠BAC = ∠BCA = 36°.

Теперь найдем ∠CBA: ∠CBA = 180° - 36° - 36° = 108°.

Теперь решим задачу. Пусть угол \(CBA = \beta\). Так как \(AD\) - биссектриса, то \(\angle CAD = \angle BAD = \alpha\). Значит, \(\angle BAC = 2\alpha\).

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, следовательно, \(\angle BCA = \angle BAC = 2\alpha\).

Рассмотрим треугольник \(ADC\). В нём \(\angle ADC + \angle DCA + \angle CAD = 180^\circ\).

Подставим известные значения: \(126^\circ + 2\alpha + \alpha = 180^\circ\).

Упростим уравнение: \(3\alpha = 54^\circ\).

Найдём \(\alpha: \alpha = 18^\circ\).

Теперь найдём угол \(BAC: \angle BAC = 2\alpha = 36^\circ\).

Используем тот факт, что сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна \(180^\circ\): \(\angle BAC + \angle BCA + \angle CBA = 180^\circ\).

Подставим известные значения: \(36^\circ + 36^\circ + \beta = 180^\circ\).

Решим уравнение относительно \(\beta: \beta = 108^\circ\).

Ответ: 108°