5) В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, 4B = 120°. Найдите длину биссектрисы, если ВС=120.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса BK, ∠B = 120°. Нужно найти длину биссектрисы BK, если BC = 120.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 30°.
2. BK - биссектриса, значит, ∠KBС = ∠B / 2 = 120° / 2 = 60°.
3. Рассмотрим треугольник KBC. В этом треугольнике: ∠KBC = 60°, ∠C = 30°. Следовательно, ∠BКС = 180° - ∠KBС - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°. Значит, треугольник KBC - прямоугольный.
4. В прямоугольном треугольнике KBC: cos(∠KBC) = BK / BC. Следовательно, BK = BC * cos(∠KBC).
5. Подставим значения: BK = 120 * cos(60°) = 120 * 0.5 = 60.

Ответ: BK = 60.