6) В равностороннем треугольнике АВС точка М - пересечение медиан. Докажите, что треугольник АМС - равнобедренный. Найдите высоту треугольника АМС, проведенную к стороне АС, если МС-14.

В равностороннем треугольнике ABC точка M - пересечение медиан. Нужно доказать, что треугольник AMC - равнобедренный. Найти высоту треугольника AMC, проведенную к стороне AC, если MC = 14.

Доказательство:

1. В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны: AB = BC = AC.
2. В равностороннем треугольнике медианы являются и высотами, и биссектрисами.
3. Точка M - пересечение медиан, значит, она является центром треугольника.
4. AM = BM = CM (так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины).
5. Треугольник AMC имеет две равные стороны: AM = CM. Следовательно, треугольник AMC - равнобедренный.

Высота треугольника AMC, проведенная к стороне AC:

1. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, значит, AM = MC = 14.
2. В равностороннем треугольнике медианы являются и высотами, следовательно, высота, проведенная к стороне AC, равна половине медианы, проведенной к стороне BC.
3. Высота = MC / 2 = 14 / 2 = 7.

Ответ: Высота треугольника АМС, проведенная к стороне АС равна 7.