4. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите площадь трапеции.

Обозначим трапецию ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, BH - высота. Известны BH, BC и угол BAD. Пусть BC = a, BH = h, угол BAD = \alpha. Тогда AH = $$\frac{AD - BC}{2}$$. В прямоугольном треугольнике ABH: $$AH = \frac{BH}{tg(\alpha)} = \frac{h}{tg(\alpha)}$$. Тогда $$AD = 2AH + BC = \frac{2h}{tg(\alpha)} + a$$. Площадь трапеции $$S = \frac{BC + AD}{2} * BH = \frac{a + \frac{2h}{tg(\alpha)} + a}{2} * h = (a + \frac{h}{tg(\alpha)}) * h = ah + \frac{h^2}{tg(\alpha)}$$. В данном случае $$a = 5$$, $$h = 6$$, $$\alpha = 45^\circ$$. $$tg(45^\circ) = 1$$. $$S = 5 * 6 + \frac{6^2}{1} = 30 + 36 = 66$$. **Ответ: 66**