8. В трапеции ABCD (AD – большее основание) проведены высоты ВМ и СК. Найдите все стороны трапеции, если известно, что ВМ=8 см, МК=7 см, АК-12 см, КD=6 см. Найдите площадь этой трапеции.

Основание AD = AK + KD = 12 + 6 = 18 см.

Основание BC = MK = 7 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. AM = AK - MK = 12 - 7 = 5 см.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = BM^2 + AM^2$$

$$AB = \sqrt{BM^2 + AM^2}$$

$$AB = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK. CD^2 = CK^2 + KD^2

$$CD = \sqrt{CK^2 + KD^2}$$

$$CD = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ см

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BM$$.

Подставим известные значения:

$$S = \frac{7 + 18}{2} \cdot 8 = \frac{25}{2} \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100$$ см²

Ответ: AD = 18 см, BC = 7 см, AB = √89 см, CD = 10 см, площадь равна 100 см².