5.* В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон АВ, ВС и СА в точках D, Е и F соответственно. Известно, что ОС = 2√2. Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

а) Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности. Точки касания окружности со сторонами образуют квадраты с радиусами. Пусть $$CE = CF = r$$. Тогда $$OC$$ является диагональю квадрата со стороной $$r$$. Следовательно, $$OC = r\sqrt{2}$$. Из условия $$OC = 2\sqrt{2}$$, значит, $$r\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$, откуда $$r = 2$$. б) Угол $$EOF$$ равен 90 градусам + половина угла $$С$$, т.е. $$EOF = 90 + 45 = 135$$ градусов. Угол $$EDF$$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $$EOF$$, поэтому он равен половине угла $$EOF$$. Следовательно, угол $$EDF = 135 / 2 = 67.5$$ градусов. Ответ: а) 2, б) EOF = 90°, EDF = 45°