262 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С, если ∠B=∠B₁ и BD = B₁D₁.

Дано: треугольники ABC и A1B1C1, углы A и A1 - прямые, BD и B1D1 - биссектрисы, ∠B = ∠B1, BD = B1D1.

Требуется доказать: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1. В них:

• ∠A = ∠A1 = 90° (по условию)
• BD = B1D1 (по условию)
• ∠ABD = ∠A1B1D1 (так как BD и B1D1 - биссектрисы, а углы B и B1 равны)

2. Следовательно, треугольники ABD и A1B1D1 равны по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников).

3. Из равенства треугольников ABD и A1B1D1 следует, что AB = A1B1 и ∠B = ∠B1 (как соответственные элементы равных треугольников).

4. Так как углы A и A1 - прямые, и ∠B = ∠B1, то ∠C = 90° - ∠B и ∠C1 = 90° - ∠B1. Следовательно, ∠C = ∠C1.

5. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. В них:

• AB = A1B1 (доказано выше)
• ∠A = ∠A1 = 90° (по условию)
• ∠C = ∠C1 (доказано выше)

6. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: Что и требовалось доказать.