В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А, — прямые, BD и B₁D, — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

1. Углы B и B₁ равны, а так как углы A и A₁ прямые, то углы C и C₁ также равны (180° - 90° - ∠B = 180° - 90° - ∠B₁). 2. BD и B₁D₁ — биссектрисы, значит, ∠ABD = ∠CBD = ∠B/2 и ∠A₁B₁D₁ = ∠C₁B₁D₁ = ∠B₁/2. Следовательно, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁. 3. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁, ∠A = ∠A₁ = 90°, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, BD = B₁D₁. По катету и прилежащему острому углу, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны. Следовательно, AB = A₁B₁. Так как AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Доказано.