В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

В △DEF и △MNP равны две стороны и угол между ними: EF = NP, DF = MP, ∠F = ∠P. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. При соответствии вершин D ↔ M, E ↔ N, F ↔ P равны углы D и M, а также E и N.

Точка O — пересечение биссектрис углов D и E, поэтому в △DOE углы при D и E равны половинам соответствующих углов исходного треугольника. Точка K — пересечение биссектрис углов M и N, поэтому в △MKN углы при M и N равны тем же половинам. Следовательно, третьи углы этих треугольников равны: ∠DOE = ∠MKN.