В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(\operatorname{tg} A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Ответ: 9√2

• В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC\), следовательно, он равнобедренный.
• Проведем высоту \(CH\) к основанию \(AB\). В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому \(AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\).
• Тангенс угла \(A\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[\operatorname{tg} A = \frac{CH}{AH} = \frac{\sqrt{7}}{3}\] Отсюда: \[CH = AH \cdot \operatorname{tg} A = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7}\]
• Теперь найдем \(AC\) по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AH^2 + CH^2}\] \[AC = \sqrt{9^2 + (3\sqrt{7})^2}\] \[AC = \sqrt{81 + 9 \cdot 7}\] \[AC = \sqrt{81 + 63}\] \[AC = \sqrt{144}\] \[AC = 12\]

Ответ: 12