В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) — высота, \(AB = 36\), \(\sin A = \frac{5}{6}\). Найдите длину отрезка \(AH\).

Ответ: 25

• Сначала найдем \(AC\) используя синус угла \(A\): \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] Из этого следует, что: \[\sin A = \frac{5}{6} = \frac{BC}{36}\] Тогда: \[AC = AB \cdot \cos A\] Для нахождения \(\cos A\), используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\] \[\cos^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2\] \[\cos^2 A = 1 - \frac{25}{36}\] \[\cos^2 A = \frac{36 - 25}{36}\] \[\cos^2 A = \frac{11}{36}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\] Теперь найдем \(AC\): \[AC = AB \cdot \cos A = 36 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 6\sqrt{11}\]
• Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ACH\). Они подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий угол \(A\). Тогда \(\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}\), следовательно: \[AH = \frac{AC^2}{AB}\] \[AH = \frac{(6\sqrt{11})^2}{36}\] \[AH = \frac{36 \cdot 11}{36}\] \[AH = 11\]

Ответ: 11