В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны. Найдите \(\sin A\), если \(AB = 10\), \(AC = 16\).

Ответ: \(\sin A = \frac{3}{5}\)

1. По теореме косинусов для треугольника \(ABC\): \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos A\] Так как \(AB = BC = 10\) и \(AC = 16\), получаем: \[16^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos A\] \[256 = 100 + 100 - 200 \cos A\] \[200 \cos A = 200 - 256\] \[200 \cos A = -56\] \[\cos A = \frac{-56}{200} = -\frac{14}{50} = -\frac{7}{25}\]
2. Теперь найдем \(\sin A\) используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\] \[\sin^2 A = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2\] \[\sin^2 A = 1 - \frac{49}{625}\] \[\sin^2 A = \frac{625 - 49}{625}\] \[\sin^2 A = \frac{576}{625}\] \[\sin A = \sqrt{\frac{576}{625}}\] \[\sin A = \frac{24}{25}\] Т.к. сторона \(BC\) больше \(AC\), то угол \(A\) острый и синус положительный.
3. Так как стороны \(AB\) и \(BC\) равны, то треугольник \(ABC\) - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, \(\angle A = \angle C\). Значит, \(\cos A = \cos C\) и \(\sin A = \sin C\). \[\cos A = -\frac{7}{25}\] Угол \(A\) больше 90 градусов, следовательно, \[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\]

Ответ: \(\sin A = \frac{24}{25}\)