В треугольнике ABC: ∠C = 90°, СС₁ - высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найти ∠САВ.

Краткая запись:

• Треугольник ABC
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• CC₁ — высота
• \( CC_1 = 5 \) см
• \( BC = 10 \) см
• Найти: \( \angle CAB \) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник BCC₁ (так как CC₁ — высота, \( \angle CC_1B = 90^{\circ} \)).
2. Шаг 2: В этом треугольнике известны катет CC₁ = 5 см и гипотенуза BC = 10 см.
3. Шаг 3: Найдем \( \angle C \) в треугольнике BCC₁. Для этого используем синус угла, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin(\angle C_{BCC_1}) = \frac{CC_1}{BC} \).
4. Шаг 4: \( \sin(\angle C_{BCC_1}) = \frac{5}{10} = 0.5 \).
5. Шаг 5: Найдем угол, синус которого равен 0.5. Это \( 30^{\circ} \). Следовательно, \( \angle C_{BCC_1} = 30^{\circ} \).
6. Шаг 6: Треугольники ABC и BCC₁ подобны (так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол \( \angle C \) в треугольнике BCC₁, который соответствует \( \angle A \) в треугольнике ABC).
7. Шаг 7: Угол \( \angle CBA \) в треугольнике ABC равен углу \( \angle C \) в треугольнике BCC₁, то есть \( \angle CBA = 30^{\circ} \).
8. Шаг 8: Теперь найдем \( \angle CAB \) в прямоугольном треугольнике ABC. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. \( \angle CAB = 90^{\circ} - \angle CBA = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°