В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK:KM=4:9$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $AKM$ к площади четырёхугольника $KPCM$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK:KM=4:9$. Прямая $AK$ пересекает сторону…$ Фото задания

В треугольнике $ABC$ на его медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK:KM=4:9$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $AKM$ к площади четырёхугольника $KPCM$.

Accepted Answer

Пусть $BK=4t$, $KM=9t$, тогда $BM=13t$, а поскольку $M$ — середина $AC$, имеем $AM=MC$.

Используем координаты: положим $B=(0,0)$, $M=(13,0)$, $A=(a,b)$, тогда $C=(26-a,-b)$. Точка $K$ делит $BM$ в отношении $4:9$, поэтому $K=(4,0)$ при выборе масштаба $t=1$.

Прямая $AK$ пересекает $BC$ в точке $P$. Из параметрического уравнения пересечения получается $BP:PC=4:5$, то есть $P$ делит сторону $BC$ в отношении $4:5$.

Треугольники $AKM$ и $ABC$ имеют общую высоту к прямой $BM$, а отношение их оснований можно вычислить через координаты; в результате $S_{AKM}=\frac{9}{26}S_{ABC}$. Четырёхугольник $KPCM$ составляет оставшуюся часть треугольника $ABC$, поэтому

\[S_{KPCM}=S_{ABC}-S_{AKM}=\frac{17}{26}S_{ABC}.\]

Следовательно,

\[S_{AKM}:S_{KPCM}=\frac9{26}:\frac{17}{26}=9:17.\]

Ответ: $9:17$