Постройте график функции y = |x|(x-1)-3x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = |x|(x-1)-3x \) в двух случаях:

1. При \( x \ge 0 \): \( y = x(x-1) - 3x = x^2 - x - 3x = x^2 - 4x \). Это парабола с вершиной в \( x = -(-4)/(2 · 1) = 2 \). Значение в вершине: \( y = 2^2 - 4 · 2 = 4 - 8 = -4 \). Точка \( (2, -4) \).
2. При \( x < 0 \): \( y = -x(x-1) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x \). Это парабола с вершиной в \( x = -(-2)/(2 · -1) = -1 \). Значение в вершине: \( y = -(-1)^2 - 2 · (-1) = -1 + 2 = 1 \). Точка \( (-1, 1) \).

Теперь построим график, учитывая условия:

• При \( x \ge 0 \), ветвь параболы \( y = x^2 - 4x \) с вершиной \( (2, -4) \). В точке \( x=0 \), \( y=0 \).
• При \( x < 0 \), ветвь параболы \( y = -x^2 - 2x \) с вершиной \( (-1, 1) \). В точке \( x=0 \), \( y=0 \).

График состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке \( (0, 0) \).

Определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) имеет две общие точки:

• Если \( m > 1 \), прямая пересекает обе ветви параболы по одному разу. Две точки.
• Если \( m = 1 \), прямая проходит через вершину \( (-1, 1) \) и пересекает правую ветвь. Две точки.
• Если \( -4 < m < 1 \), прямая пересекает обе ветви параболы по одному разу. Две точки.
• Если \( m = -4 \), прямая проходит через вершину \( (2, -4) \) и пересекает левую ветвь. Две точки.
• Если \( m < -4 \), прямая пересекает левую ветвь параболы один раз. Одна точка.

Итак, прямая \( y=m \) имеет ровно две общие точки, когда \( m \) находится в интервале \( (-4, 1] \).

Ответ: m ∈ (-4; 1].