683. В треугольнике ABC проведена высота BD. Известно, что AD = 2 см, DC = 8 см, BD = 4 см. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Дано: AD = 2, DC = 8, BD = 4. Доказать: треугольник ABC прямоугольный. Решение: Для доказательства, что треугольник ABC прямоугольный, нужно доказать, что выполняется теорема Пифагора для треугольника ABC. 1. Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$$ 2. Рассмотрим треугольник BDC. По теореме Пифагора: $$BC^2 = BD^2 + DC^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$$ 3. Найдем AC: $$AC = AD + DC = 2 + 8 = 10$$ 4. Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ABC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ 5. $$AC^2 = 10^2 = 100$$ 6. $$AB^2 + BC^2 = 20 + 80 = 100$$ Так как $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$, то треугольник ABC прямоугольный.