15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12, $$tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Найдите AB.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ ($$C = 90^{\circ}$$) известно, что $$AC = 12$$ и $$tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Нужно найти $$AB$$. Тангенс угла $$A$$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему: $$tg A = \frac{BC}{AC}$$ Из этого равенства можно найти $$BC$$: $$BC = AC \cdot tg A = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$$ Теперь, когда известны катеты $$AC$$ и $$BC$$, можно найти гипотенузу $$AB$$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 = 144 + 64 \cdot 10 = 144 + 640 = 784$$ $$AB = \sqrt{784} = 28$$ Ответ: 28