В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 18, tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 12

Разбираемся:

1. Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC.
2. Проведем высоту CD к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой, поэтому AD = DB = \(\frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (CD) к прилежащему катету (AD): \[tg(A) = \frac{CD}{AD}\] Из условия известно, что \(tg(A) = \frac{\sqrt{7}}{3}\) и AD = 9. Подставим эти значения в формулу: \[\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CD}{9}\] Чтобы найти длину высоты CD, умножим обе части уравнения на 9: \[CD = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot 9 = 3\sqrt{7}\]
4. Теперь найдем длину стороны AC, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC: \[AC^2 = AD^2 + CD^2\] \[AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2\] \[AC^2 = 81 + 9 \cdot 7\] \[AC^2 = 81 + 63\] \[AC^2 = 144\] \[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12