В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 27, sin A = \frac{2√2}{3}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 9

Разбираемся:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AB - гипотенуза, AC - прилежащий катет к углу A, BC - противолежащий катет к углу A.
2. Синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \[sin(A) = \frac{BC}{AB}\]
3. Сначала найдем cos(A), используя основное тригонометрическое тождество: \[sin^2(A) + cos^2(A) = 1\] \[cos^2(A) = 1 - sin^2(A)\] \[cos^2(A) = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2\] \[cos^2(A) = 1 - \frac{4 \cdot 2}{9}\] \[cos^2(A) = 1 - \frac{8}{9}\] \[cos^2(A) = \frac{1}{9}\] \[cos(A) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\]
4. Косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): \[cos(A) = \frac{AC}{AB}\] Известно, что cos(A) = \(\frac{1}{3}\) и AB = 27. Подставим эти значения в формулу: \[\frac{1}{3} = \frac{AC}{27}\] Чтобы найти длину стороны AC, умножим обе части уравнения на 27: \[AC = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9\]

Ответ: 9