8. В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB = 20, tg∠A = √5 2 . Найдите длину стороны АС.

Ответ: AC = 2√30

• Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC.
• Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• Опустим высоту CH на сторону AB.
• В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому AH = HB = AB/2 = 20/2 = 10.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.
• Тангенс угла A равен:

\[tg ∠A = \frac{CH}{AH} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

• Выразим CH:

\[CH = AH \cdot tg ∠A = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\]

• Теперь найдем AC по теореме Пифагора из треугольника ACH:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + 25 \cdot 5 = 100 + 125 = 225\]\[AC = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: AC = 2√30