В треугольнике АВС известно, что AB=24, ∠B = 15°, ∠C = 45°. Найдите сторону АС.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, следовательно ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 15° - 45° = 120°. По теореме синусов имеем: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$ $$\frac{AC}{\sin 15°} = \frac{24}{\sin 45°}$$ $$AC = \frac{24 \cdot \sin 15°}{\sin 45°}$$ Синус 15° найдем по формуле синуса разности углов: $$\sin 15° = \sin(45°-30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° - \cos 45° \cdot \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ Тогда $$AC = \frac{24 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 12(\sqrt{3} - 1) = 12\sqrt{3} - 12$$

Ответ: $$12\sqrt{3} - 12$$