В треугольнике АВС известно, что BC = 14√2,∠A = 45°, ∠B = 120°. Найдите сторону АВ.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, следовательно ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 120° = 15°. По теореме синусов имеем: $$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$ $$\frac{AB}{\sin 15°} = \frac{14\sqrt{2}}{\sin 45°}$$ $$AB = \frac{14\sqrt{2} \cdot \sin 15°}{\sin 45°}$$ Синус 15° найдем по формуле синуса разности углов: $$\sin 15° = \sin(45°-30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° - \cos 45° \cdot \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ Тогда $$AB = \frac{14\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{14\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{14(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = 7(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

Ответ: $$7\sqrt{6} - 7\sqrt{2}$$