10. (11033) В треугольнике АВС проведена прямая KN — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Найти АК: КС, если ВК = 4 и АС = 6.

Ответ: 5:3

1. Так как KN - серединный перпендикуляр к стороне BC, то K - середина BC и KN \(\perp\) BC.
2. Следовательно, BK = KC. По условию BK = 4, значит KC = 4.
3. Рассмотрим треугольник ABC. KN - серединный перпендикуляр, значит, он проходит через середину BC и перпендикулярен BC.
4. По условию AC = 6.
5. Проведем прямую AP || BC, где P лежит на KN.
6. Так как KN - серединный перпендикуляр к BC, то \(\angle BKN = 90^\circ\).
7. Треугольники AKP и CKN подобны по двум углам (\(\angle AKN = \angle CKN = 90^\circ\) и \(\angle AKP = \angle CKN\) как вертикальные).
8. Следовательно, \(\frac{AK}{KC} = \frac{AP}{CN}\).
9. Так как AP || BC, то AP = BK = 4.
10. Тогда \(\frac{AK}{KC} = \frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

Ответ: 2:3