4. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 56 и ВС = ВМ. Найдите АН.

1) Рассмотрим треугольник ABC. BM - медиана, BH - высота, AC = 56, BC = BM.

2) Найти: AH

3) Решение:

Т.к. BM - медиана, то AM = MC = AC / 2 = 56 / 2 = 28.

Т.к. BM = BC, то треугольник BCM - равнобедренный, значит, ∠BMC = ∠BCM.

Т.к. BM - медиана, то M - середина AC. Рассмотрим треугольник BMC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Если BC = BM, то M - середина AC. В этом случае медиана, проведенная из вершины B, также является высотой и биссектрисой.

Т.к. BH - высота, то AH ⊥ BC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

AH = AC / 2 = 56 / 2 = 28 / 2 = 14.

Рассмотрим треугольник BHC - прямоугольный. По теореме Пифагора BH² + HC² = BC².

AH = AC - HC = 56 - 14 = 42

Ответ: 42