8. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cos B 5/13, AB = 39. Найдите АС.

Решение:

Шаг 1: Найдем \(\sin B\) через \(\cos B\):

\[\sin^2 B + \cos^2 B = 1\] \[\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B}\]

Шаг 2: Подставляем значение \(\cos B = \frac{5}{13}\):

\[\sin B = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\]

Шаг 3: Используем определение синуса угла B:

\[\sin B = \frac{AC}{AB}\] \[AC = AB \cdot \sin B\]

Шаг 4: Подставляем значения \(AB = 39\) и \(\sin B = \frac{12}{13}\):

\[AC = 39 \cdot \frac{12}{13} = 3 \cdot 12 = 36\]