5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgA = √15. Найдите sin B.

Решение:

Шаг 1: Найдем \(\cos A\) через тангенс:

\[\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\] \[\tan^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1 - \cos^2 A}{\cos^2 A}\] \[\tan^2 A \cdot \cos^2 A = 1 - \cos^2 A\] \[\cos^2 A (\tan^2 A + 1) = 1\] \[\cos^2 A = \frac{1}{\tan^2 A + 1}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{1}{\tan^2 A + 1}}\]

Шаг 2: Подставляем значение \(\tan A = \sqrt{15}\):

\[\cos A = \sqrt{\frac{1}{(\sqrt{15})^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{15 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\]

Шаг 3: Найдем \(\sin A\) через \(\cos A\):

\[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\]

Шаг 4: Найдем \(\sin B\), зная, что \(B = 90^\circ - A\), значит, \(\sin B = \cos A\):

\[\sin B = \cos A = \frac{1}{4}\]