10. В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgA = 5/12, AB = 2,6. Найдите ВС.

Решение:

Шаг 1: Выразим \(cos A\) через \(tg A\):

\[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{5}{12}\]

Шаг 2: Вспоминаем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]

Шаг 3: Выражаем \(sin A\) через \(cos A\) и \(tg A\):

\[sin A = tg A \cdot cos A\]

Шаг 4: Подставляем в основное тригонометрическое тождество:

\[(tg A \cdot cos A)^2 + cos^2 A = 1\] \[cos^2 A (tg^2 A + 1) = 1\] \[cos^2 A = \frac{1}{tg^2 A + 1}\]

Шаг 5: Подставляем значение \(tg A = \frac{5}{12}\):

\[cos^2 A = \frac{1}{(\frac{5}{12})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{25}{144} + 1} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}\] \[cos A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\]

Шаг 6: Находим \(sin A\) через \(tg A\) и \(cos A\):

\[sin A = tg A \cdot cos A = \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = \frac{5}{13}\]

Шаг 7: Вспоминаем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]

Шаг 8: Выражаем сторону BC:

\[BC = AB \cdot sin A\]

Шаг 9: Подставляем известные значения \(AB = 2.6\) и \(sin A = \frac{5}{13}\):

\[BC = 2.6 \cdot \frac{5}{13} = \frac{26}{10} \cdot \frac{5}{13} = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 5} \cdot \frac{5}{13} = 1\]

Ответ: 1