9) В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 1, sin A = √21/5. Найдите ВН

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90°, AC = 1, sin A = √21/5. Найдем BH, где BH - высота, опущенная на AB. Сначала найдем AB. Так как \(\sin A = \frac{BC}{AB}\), то \(AB = \frac{BC}{\sin A}\). Чтобы найти BC, используем теорему Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). Тогда \(\sin^2 A = \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{BC^2}{AC^2 + BC^2}\). \[\frac{21}{25} = \frac{BC^2}{1 + BC^2}\]\[21(1 + BC^2) = 25 BC^2\]\[21 + 21 BC^2 = 25 BC^2\]\[4 BC^2 = 21\]\[BC^2 = \frac{21}{4}\]\[BC = \frac{\sqrt{21}}{2}\] Тогда \[AB = \frac{\frac{\sqrt{21}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} = \frac{5}{2}\] Теперь найдем площадь треугольника двумя способами: 1) S = \(\frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{\sqrt{21}}{4}\) 2) S = \(\frac{1}{2} AB \cdot CH\), где CH = BH Следовательно, \(\frac{\sqrt{21}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot BH\) \[BH = \frac{\sqrt{21}}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{\sqrt{21}}{5}\]

Ответ: √21/5