25. В треугольнике KMP биссектриса угла K делит высоту, проведённую из вершины M, в отношении 25 : 24, считая от точки M. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMP, если BC = 42.

Условие задачи сформулировано не совсем корректно. Вероятно, имелось в виду, что в треугольнике KMP биссектриса угла K делит высоту, проведённую из вершины M, в отношении 25:24, считая от вершины M, и требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника KMP, если KP = 42 (а не BC). Пусть ME - высота треугольника KMP, проведённая из вершины M к стороне KP, и KD - биссектриса угла K. Пусть O - точка пересечения ME и KD. По условию MO : OE = 25 : 24. По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса угла K делит сторону MP на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть MK = x, MP = y, тогда MD/DP = MK/KP, то есть MD/DP = x/42. Рассмотрим треугольник MKE. KD - биссектриса угла MKE. Тогда по свойству биссектрисы MO/OE = MK/KE, то есть 25/24 = x/KE. Отсюда KE = 24x/25. Треугольники MOK и DEK подобны (по двум углам). Тогда MK/KD = MO/DE. Для нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника KMP воспользуемся формулой R = (a*b*c)/(4S), где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь. В данной задаче не хватает данных для однозначного определения радиуса описанной окружности. Без дополнительных условий (например, знания углов треугольника или каких-либо других соотношений между сторонами) решить задачу невозможно.