577 В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите от- резки, на которые высота делит эту сторону.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = 5 см, BC = 12 см, AC = 13 см. Из вершины B проведена высота BD к стороне AC. Нужно найти отрезки AD и DC.

Заметим, что $$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом B. То есть AC - гипотенуза. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$ $$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot BD$$ $$60 = 13 \cdot BD$$ $$BD = \frac{60}{13}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$AD^2 = AB^2 - BD^2$$ $$AD^2 = 5^2 - \left(\frac{60}{13}\right)^2 = 25 - \frac{3600}{169} = \frac{25 \cdot 169 - 3600}{169} = \frac{4225 - 3600}{169} = \frac{625}{169}$$ $$AD = \sqrt{\frac{625}{169}} = \frac{25}{13}$$

Теперь найдем DC: $$DC = AC - AD$$ $$DC = 13 - \frac{25}{13} = \frac{13 \cdot 13 - 25}{13} = \frac{169 - 25}{13} = \frac{144}{13}$$

Ответ: AD = 25/13 см, DC = 144/13 см