В2. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите стороны треугольника ABC.

Пусть \(CD=x\) см. Тогда \(BD=x+4\) см.

По свойству высоты к гипотенузе:

\(CD^2=AD\cdot BD\).

Подставим данные:

\(x^2=9(x+4)\);

\(x^2-9x-36=0\);

\((x-12)(x+3)=0\).

Длина положительна, поэтому \(CD=12\) см, \(BD=16\) см.

Гипотенуза:

\(AB=AD+BD=9+16=25\) см.

По теореме о катете:

\(AC^2=AB\cdot AD=25\cdot9=225\), значит \(AC=15\) см;

\(BC^2=AB\cdot BD=25\cdot16=400\), значит \(BC=20\) см.

Ответ: \(AC=15\) см, \(BC=20\) см, \(AB=25\) см.